题目内容
已知函数
(1)若函数在点处的切线与圆相切,求的值;
(2)当时,函数的图像恒在坐标轴轴的上方,试求出的取值范围.
(1);(2).
解析试题分析:本题综合考查函数与导数及运用导数研究函数的单调区间、最值等数学知识和方法,突出考查综合运用数学知识和方法分析问题、解决问题的能力,考查函数思想、分类讨论思想.第一问,先将代入中,得到切点的纵坐标,对求导,将代入得到切线的斜率,所以点斜式写出切线方程,因为它与圆相切,所以圆心到切线的距离等于半径,列出表达式,求出;第二问,对求导,通过分析可转化为当时,恒成立,设,讨论,讨论的正负,通过抛物线的性质,求最小值.
试题解析:(1) ,而,故,
所以在点处的切线方程为,即,
由,配方得,故该圆的圆心为,半径,
由题意可知,圆与直线相切,所以,
即,解得.
(2)函数的定义域为,,
由题意,只需当时,恒成立.
设(),,
当时,,当时,恒成立,即恒成立,
故在上是增函数,∴当时,,
当时,函数的对称轴,则在上是增函数,
当时,,∴,∴在上是增函数,
∴当时,,
当时,函数的对称轴,在是减函数,,
故,∴在是减函数,
∴当时,与当时,矛盾,
综上所述,的取值范围是.
考点:1.利用导数求切线的方程;2.点到直线的距离公式;3.利用导数求函数最值.
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