题目内容
【题目】如图,已知抛物线:
与圆
:
(
)相交于
,
,
,
四个点,
(1)求的取值范围;
(2)设四边形的面积为
,当
最大时,求直线
与直线
的交点
的坐标.
【答案】(1)(2)点
的坐标为
【解析】
将抛物线方程
与圆方程
联立,消去
得到关于
的一元二次方程, 抛物线
与圆
有四个交点需满足关于
的一元二次方程在
上有两个不等的实数根,根据二次函数的有关性质即可得到关于
的不等式组,解不等式即可.
不妨设抛物线
与圆
的四个交点坐标为
,
,
,
,据此可表示出直线
、
的方程,联立方程即可表示出点
坐标,再根据等腰梯形的面积公式可得四边形
的面积
的表达式,令
,由
及
知
,对关于
的面积函数进行求导,判断其单调性和最值,即可求出四边形
的面积取得最大值时
的值,进而求出点
坐标.
(1)联立抛物线与圆的方程
消去,得
.
由题意可知在
上有两个不等的实数根.
所以解得
,
所以的取值范围为
.
(2)根据(1)可设方程的两个根分别为
,
(
),
则,
,
,
,
且,
,
所以直线、
的方程分别为
,
,
联立方程可得,点的坐标为
,
因为四边形为等腰梯形,
所以
,
令,则
,
所以,
因为,所以当
时,
;当
时,
,
所以函数在
上单调递增,在
上单调递减,
即当时,四边形
的面积
取得最大值,
因为,点
的坐标为
,
所以当四边形的面积
取得最大值时,点
的坐标为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】随着小汽车的普及,“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试,要顺利地拿到驾驶证,他需要通过四个科目的考试,其中科目二为场地考试.在一次报名中,每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试,就算顺利通过,即进入下一科目考试;若5次都没有通过,则需重新报名),其中前2次参加科目二考试免费,若前2次都没有通过,则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计,得到下表:
考试情况 | 男学员 | 女学员 |
第1次考科目二人数 | 1200 | 800 |
第1次通过科目二人数 | 960 | 600 |
第1次未通过科目二人数 | 240 | 200 |
若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率,且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试,在本次报名中,若这对夫妻参加科目二考试的原则为:通过科目二考试或者用完所有机会为止.
(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率;
(2)若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过,记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元,求
的分布列与数学期望.