题目内容
【题目】已知椭圆与抛物线
在第一象限的交点为
,椭圆
的左、右焦点分别为
,其中
也是抛物线
的焦点,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过的直线
(不与
轴重合)交椭圆
于
两点,点
为椭圆
的左顶点,直线
分别交直线
于点
,求证:
为定值.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1)根据题意,由抛物线性质可求焦点坐标和点坐标,结合椭圆定义,可求
,计算即可求解;
(2)设,讨论直线
与
轴是否垂直,再根据直线与椭圆方程联立方程组法,结合韦达定理,计算
,即可证明.
(1)抛物线的焦点为
,
,∴
,
∴,∴
,
又,∴
,
∴,∴
,
又∵,∴
,
∴椭圆的方程是:
;
(2)设
当直线与
轴垂直时,易得:
或
,
又,∴
,或者
,
∴,∴
当直线与
不垂直时,设直线
的方程为:
,
联方程组,消去
整理得:
,
所以:,
又共线,
∴,得
,同理:
,
∴,
∴
又因为
∴,则
综上,为定值.
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练习册系列答案
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餐饮满意度y 人数 住宿满意度x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 0 |
2 | 2 | 1 | 3 | 2 | 1 |
3 | 1 | 2 | 5 | 3 | 4 |
4 | 0 | 3 | 5 | 4 | 3 |
5 | 0 | 0 | 1 | 2 | 3 |
(1)求“住宿满意度”分数的平均数;
(2)求“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的方差;
(3)为提高对酒店的满意度,现从且
的会员中随机抽取2人征求意见,求至少有1人的“住宿满意度”为2的概率.