题目内容
【题目】如图, 在四棱锥中,
底面
,
,
,
,
,点
为棱
的中点.
(1)证明::
(2)求直线与平面
所成角的正弦值;
(3)若为棱
上一点, 满足
, 求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析 (2) (3)
【解析】
(1)根据题意以为坐标原点,建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,并表示出
,由空间向量数量积运算即可证明
.
(2)先求得平面的法向量,即可求得直线
与平面法向量夹角的余弦值,即为直线
与平面
所成角的正弦值;
(3)由点在棱
上,设
,再由
,结合
,由空间向量垂直的坐标关系求得
的值.即可表示出
.求得平面
和平面
的法向量,由空间向量数量积的运算求得两个平面夹角的余弦值,再根据二面角的平面角为锐角即可确定二面角
的余弦值.
(1)证明:∵底面
,
,
以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
∵,
,点
为棱
的中点.
∴,
,
,
,
,
,
.
(2),
设平面的法向量为
.
则,代入可得
,
令解得
,即
,
设直线与平面
所成角为
,由直线与平面夹角可知
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
(3),
由点在棱
上,设
,
故,
由,得
,
解得,
即,
设平面的法向量为
,
由,得
,
令,则
取平面的法向量
,
则二面角的平面角
满足
,
由图可知,二面角为锐二面角,
故二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某度假酒店为了解会员对酒店的满意度,从中抽取50名会员进行调查,把会员对酒店的“住宿满意度”与“餐饮满意度”都分别五个评分标准:1分(很不满意);2分(不满意);3分(一般);4分(满意);5分(很满意),其统计结果如下表(住宿满意度为x,餐饮满意度为y).
餐饮满意度y 人数 住宿满意度x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 0 |
2 | 2 | 1 | 3 | 2 | 1 |
3 | 1 | 2 | 5 | 3 | 4 |
4 | 0 | 3 | 5 | 4 | 3 |
5 | 0 | 0 | 1 | 2 | 3 |
(1)求“住宿满意度”分数的平均数;
(2)求“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的方差;
(3)为提高对酒店的满意度,现从且
的会员中随机抽取2人征求意见,求至少有1人的“住宿满意度”为2的概率.