题目内容
【题目】在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数，将曲线经过伸缩变换
后得到曲线
.在以原点为极点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线
的极坐标方程为
.
（1）说明曲线是哪一种曲线，并将曲线的方程化为极坐标方程；
（2）已知点
是曲线上的任意一点，又直线上有两点
和
，且
，又点的极角为
，点的极角为锐角.求：
①点的极角；
②
面积的取值范围.
【答案】（1）曲线
为圆心在原点，半径为2的圆.的极坐标方程为
（2）①
②
【解析】
（1）求得曲线
伸缩变换后所得的参数方程，消参后求得的普通方程，判断出对应的曲线，并将的普通方程转化为极坐标方程.
（2）
①将
的极角代入直线
的极坐标方程，由此求得点的极径，判断出
为等腰三角形，求得直线的普通方程，由此求得
，进而求得
，从而求得点
的极角.
②解法一：利用曲线的参数方程，求得曲线上的点
到直线的距离
的表达式，结合三角函数的知识求得的最小值和最大值，由此求得
面积的取值范围.
解法二：根据曲线表示的曲线，利用圆的几何性质求得圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，进而求得面积的取值范围.
（1）因为曲线的参数方程为
（
为参数），
因为
则曲线的参数方程
所以的普通方程为
.所以曲线为圆心在原点，半径为2的圆.
所以的极坐标方程为
，即.
（2）①点的极角为
，代入直线的极坐标方程
得点
极径为
，且
，所以为等腰三角形，
又直线的普通方程为
，
又点的极角为锐角，所以，所以，
所以点的极角为
.
②解法1：直线的普通方程为.
曲线上的点到直线的距离
.
当
，即
（
）时，
取到最小值为
.
当
，即
（）时，
取到最大值为
.
所以面积的最大值为
；
所以面积的最小值为
；
故面积的取值范围.
解法2：直线的普通方程为.
因为圆的半径为2，且圆心到直线的距离
，
因为
，所以圆与直线相离.
所以圆上的点到直线的距离最大值为
，
最小值为
.
所以面积的最大值为；
所以面积的最小值为；
故面积的取值范围.
