Question

(12分)已知曲线C：x²+y²-2x-4y+m=0
（1）当m为何值时，曲线C表示圆；
（2）若曲线C与直线x+2y-4=0交于M、N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值。

Answer 1

.解 （1）由D²+E²-4F=4+16-4m=20-4m>0，得m<5。
（2）设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)，由OM⊥ON得x₁x₂+ y₁y₂=0。
将直线方程x+2y-4=0与曲线C：x²+y²-2x-4y+m=0联立并消去y得
5x²-8x+4m-16=0，由韦达定理得x₁+x₂=①,x₁x₂=②，又由x+2y-4=0得y= (4-x), ∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(4-x₁)· (4-x₂)= x₁x₂-( x₁+x₂)+4=0。将①、②代入得m=.

略