Question

2．设各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=2，a_n+2=a_n（a_n+1）${\;}^{-\frac{3}{2}}$（n∈N^*），若a₂=$\frac{1}{4}$，则猜想a₂₀₁₄的值为${2}^{{2}^{2013}}$．

Answer 1

分析 通过计算出前几项的值猜想a_n=${2}^{（-1）^{n}•{2}^{n-1}}$，进而计算可得结论．

解答 解：依题意，a₃=a₁（a₂）${\;}^{-\frac{3}{2}}$
=2•$（{2}^{-2}）^{-\frac{3}{2}}$
=2⁴，
a₄=a₂•$（{a}_{3}）^{-\frac{3}{2}}$
=2^-2•${2}^{4•（-\frac{3}{2}）}$
=2^-8，
猜想：a_n=${2}^{（-1）^{n}•{2}^{n-1}}$．
∴a₂₀₁₄=${2}^{（-1）^{2014}•{2}^{2014-1}}$=${2}^{{2}^{2013}}$，
故答案为：${2}^{{2}^{2013}}$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．