Question

【题目】已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x+x2 ．
（1）求x＜0时，f（x）的解析式；
（2）问是否存在这样的非负数a，b，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[4a﹣2，6b﹣6]？若存在，求出所有的a，b值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设x＜0，则﹣x＞0，于是f（﹣x）=﹣x+x2，

又f（x）为奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=﹣x+x2，

即x＜0时，f（x）=x﹣x2

（2）解：假设存在这样的数a，b．

∵a≥0，且f（x）=x+x2在x≥0时为增函数，

∴x∈[a，b]时，f（x）∈[f（a），f（b）]=[4a﹣2，6b﹣6]，

∴

，即

或 ，考虑到0≤a＜b，且4a﹣2＜6b﹣6，

可得符合条件的a，b值分别为

【解析】（1）设x＜0，则﹣x＞0，利用x≥0时，f（x）=x+x2 ． 得到f（﹣x）=﹣x+x2 ， 再由奇函数的性质得到f（﹣x）=﹣f（x），代换即可得到所求的解析式．（2）假设存在这样的数a，b．利用函数单调性的性质建立方程求参数，若能求出，则说明存在，否则说明不存在．