Question

【题目】已知椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点（1，0）的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使 恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知抛物线的焦点 ，∴

又∵椭圆的短轴的两个端点与F构成正三角形，∴b=1，

∴椭圆的方程为

（2）解：当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为：y=k（x﹣1）

代入椭圆方程，消去y，可得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则

∵

∴ =m2﹣m（x1+x2）+x1x2+y1y2= = =

= = …

当 ，即 时， 为定值

当直线l的斜率不存在时，

由 可得 ，∴

综上所述，当 时， 为定值

【解析】（1）求出抛物线的焦点坐标，可得c，再求出b的值，即可求椭圆的方程；（2）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可求得结论．