题目内容
10.直线l:y=x+m与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1交于A、B两点,弦长AB为$\frac{4\sqrt{6}}{5}$,求直线l的方程.分析 把y=x+m,代入x2+4y2=4,结合题设条件利用椭圆的弦长公式能求出m,得到直线方程.
解答 解:椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1,即:x2+4y2=4
l:y=x+m,代入x2+4y2=4,
整理得5x2+8mx+4m2-4=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-$\frac{8m}{5}$,x1x2=$\frac{4{m}^{2}-4}{5}$,
|AB|=$\sqrt{1+{1}^{2}}$•|x1-x2|
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{({{x}_{1}+{x}_{2})}^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$$\sqrt{{(-\frac{8m}{5})}^{2}-4×\frac{4{m}^{2}-4}{5}}$=$\frac{4\sqrt{6}}{5}$.
可得$\sqrt{5-{m}^{2}}=\sqrt{3}$
解得:m=$±\sqrt{2}$.
直线l:y=x$±\sqrt{2}$.
点评 本题考查椭圆弦长的求法,解题时要注意弦长公式,考查计算能力以及分析问题解决问题的能力.
练习册系列答案
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