题目内容

【题目】电视台播放甲乙两套连续剧每次播放连续剧时需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:

连续剧播放时长(分钟)

广告播放时长分钟

收视人次

70

5

60

60

5

25

已知电视台每周安排的甲乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用表示每周计划播出的甲乙两套连续剧的次数

(1)列出满足题目条件的数学关系式并画出相应的平面区域

2问电视台每周播出甲乙两套连续剧各多少次才能使收视人次最多

【答案】(1)见解析;(2)每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.

【思路分析】(1)根据题目中的条件列出相应的不等式,同时注意需满足这一隐含条件,建立不等式组,画出平面区域;(2)根据的几何意义即可求最值.

【解析】(1)由已知,满足的数学关系式为,即(2分)

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中阴影部分内的整点(包括边界):(5分)

(2)设总收视人次为万,则目标函数为

考虑,将它变形为,这是斜率为,随变化的一族平行直线.

为直线在轴上的截距,当取得最大值时,的值最大.(6分)

满足约束条件,所以由图2可知,当直线经过可行域上的点M时,截距最大,即最大.(8分)

解方程组得点M的坐标为

所以,电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.(10分)

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