题目内容
【题目】已知 =(
sinx,2),
=(2cosx,cos2x),函数f(x)=
,
(1)求函数f(x)的值域;
(2)在△ABC中,角A,B,C和边a,b,c满足a=2,f(A)=2,sinB=2sinC,求边c.
【答案】
(1)解:∵ =(
sinx,2),
=(2cosx,cos2x),
∴f(x)= =2
sinxcosx+2cos2x=
sin2x+cos2x+1=2sin(2x+
)+1,
∵﹣1≤sin(2x+ )≤1,
∴﹣1≤2sin(2x+ )+1≤3,
∴函数f(x)的值域为[﹣1,3]
(2)解:∵f(A)=2,
∴2sin(2A+ )+1=2,
∴sin(2A+ )=
∴2A+ =2kπ+
,或2A+
=2kπ+
,k∈Z,
∴A=kπ,(舍去),A=kπ+ ,k∈Z,
∵0<A<π,
∴A= ,
∵sinB=2sinC,由正弦定理可得b=2c,
∵a=2,由余弦定理可得,a2=b2+c2﹣2bccosA,
∴3c2=4,
解得c= .
【解析】(1)根据向量的坐标运算以及二倍角公式,化简求出f(x),根据三角函数的性质求出值域;(2)先求出A的大小,再根据正弦余弦定理即可求出.
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