Question

3．点A（2，0）是圆x²+y²=4上的定点，点B（1，1）是圆内一点，P为圆上的动点．
（1）求线段AP的中点的轨迹方程
（2）求过点B倾斜角为135°的直线截圆所得的弦长．

Answer 1

分析 （1）设出AP的中点坐标，利用中点坐标公式求出P的坐标，据P在圆上，将P坐标代入圆方程，求出中点的轨迹方程．
（2）求出直线方程，圆心到直线的距离，利用勾股定理，求出过点B倾斜角为135°的直线截圆所得的弦长．

解答 解：（1）设AP中点为M（x，y），
由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x-2，2y）
∵P点在圆x²+y²=4上，∴（2x-2）²+（2y）²=4．
故线段AP中点的轨迹方程为（x-1）²+y²=1．
（2）过点B倾斜角为135°的直线方程为x+y-2=0，
圆心O（0，0）到直线x+y-2=0的距离d=$\frac{2}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{2}$，
∴过点B倾斜角为135°的直线截圆所得的弦长为2$\sqrt{4-2}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查中点坐标公式、圆心与弦中点的连线垂直弦、相关点法求动点轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．