题目内容
20．已知平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1方程为ρ=2sinθ；C2的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）．（Ⅰ）写出曲线C1的直角坐标方程和C2的普通方程；
（Ⅱ）设点P为曲线C1上的任意一点，求点P 到曲线C2距离的取值范围．
分析 （I）直接利用极坐标与直角坐标互化求出C1的直角坐标方程，C2的普通方程．
（II）求出C1为以（0，1）为圆心，r=1为半径的圆，利用圆心距推出距离的最值得到范围即可．
解答 （本小题满分10分）
解：（I）曲线C1方程为ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，可得x2+y2=2y，
∴C1的直角坐标方程：x2+（y-1）2=1，
C2的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$，消去参数t可得：
C2的普通方程：$\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}=0$．…（4分）
（II）由（I）知，C1为以（0，1）为圆心，r=1为半径的圆，C1的圆心（0，1）到C2的距离为$d=\frac{{|{-1+\sqrt{3}}|}}{{\sqrt{3+1}}}=\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}＜1$，则C1与C2相交，P到曲线C2距离最小值为0，最大值为$d+r=\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$，
则点P到曲线C2距离的取值范围为$[{0，\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}}]$．…（10分）
点评 本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，参数方程与直角坐标方程的互化，考查计算能力．
练习册系列答案
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| A． | 第6项 | B． | 第7项 | C． | 第8项 | D． | 第9项 |
5．方程|x|+|y|=1表示的曲线是（ ）
| A． |  | B． |  | C． |  | D． |  |
12．若集合A={x|-1＜x＜2}，B={x|（2x+1）（3-x）＜0}，则A∩B是（ ）
| A． | {x|2＜x＜3} | B． | {x|-$\frac{1}{2}$＜x＜2} | C． | {x|-1$＜x＜-\frac{1}{2}$} | D． | {x|-1$＜x＜\frac{1}{2}$或2＜x＜3} |