Question

8．直线l过点M（2，1），且与椭圆$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$交于A，B两点，O是坐标原点．
（Ⅰ）若点M是弦AB的中点，求直线l的方程；
（Ⅱ）若直线l过椭圆的左焦点，求数量积$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程，两式作差，再由中点坐标公式和直线的斜率公式，计算可得斜率，再由点斜式方程，可得所求直线方程；
（Ⅱ）求得直线FM的斜率，可得直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入椭圆方程得${x_1}^2+2{y_1}^2=8$，${x_2}^2+2{y_2}^2=8$，
两式作差得$（{x_1}^2-{x_2}^2）+2（{y_1}^2-{y_2}^2）=0$，
因式分解得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
所以$k=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{2（{y_1}+{y_2}）}}$，
即$k=-\frac{x_0}{{2{y_0}}}=-\frac{2}{2×1}=-1$，
所以l方程为：x+y-3=0．
（Ⅱ）因为F（-2，0），M（2，1），
所以l斜率$k=\frac{1}{4}$，所以l方程为：x-4y+2=0，
联立解方程组$\left\{\begin{array}{l}x-4y+2=0\\{x^2}+2{y^2}=8\end{array}\right.$，得9y²-8y-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
所以${y_1}+{y_2}=\frac{8}{9}$，${y_1}{y_2}=-\frac{2}{9}$，
x₁x₂=（4y₁-2）（4y₂-2）=16y₁y₂-8（y₁+y₂）+4，
所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=17y₁y₂-8（y₁+y₂）+4
=$17×（-\frac{2}{9}）-8×\frac{8}{9}+4=-\frac{62}{9}$．

点评 本题考查椭圆的方程和运用，考查点差法求直线方程的运用，同时考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．