题目内容

（选修4-4：坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系xoy中，过椭圆
x2
12
+
y2
4
=1在第一象限内的一点P（x，y）分别作x轴、y轴的两条垂线，垂足分别为M，N，求矩形PMON周长最大值时点P的坐标．
分析：根据椭圆的参数方程设点P（2
3
cosα，2sinα），得到矩形PMON周长C关于α的表达式，化简得C=8sin（α+
π
3
），
结合正弦函数的性质，可得矩形PMON周长最大值及相应的点P坐标．
解答：解：根据题意，设
x=2
3
cosα
y=2sinα
（α∈[0，2π]为参数），
∴矩形PMON周长为
C=2(2
3
cosα+2sinα)=8sin(α+
π
3
)
∵sin（α+
π
3
）的最大值为1，
∴当α=
π
6
时，矩形PMON周长取最大值8，
此时点P的坐标为（3，1）．
点评：本题给出椭圆上点P，求椭圆内接矩形PMON周长的最大值，着重考查了椭圆的简单几何性质、三角恒等变换和三角函数的最值等知识，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=
33
cd
，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为
α
=
1
1
，属于特征值1的一个特征向量为
β
=
^ 
&-2；
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）判断矩阵A是否可逆，若可逆求出其逆矩阵A-1．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+
π
4
)=
2
2
，圆M的参数方程为
x=2cosθ
y=-2+2sinθ
（其中θ为参数）．
（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值．
（3）选修4-5：不等式选讲，设函数f（x）=|x-1|+|x-a|；
（Ⅰ）若a=-1，解不等式f（x）≥3；
（Ⅱ）如果关于x的不等式f（x）≤2有解，求a的取值范围．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC
交于点D．求证：ED2=EB•EC．
B．选修4-2：矩阵与变换
求矩阵M=
-14
26
的特征值和特征向量．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是ρcos(θ+
π
4
)=
3
2
2
和ρsin2θ=4cosθ，直线l与曲线C交于点．A，B，C，求线段AB的长．
D．选修4-5：不等式选讲
对于实数x，y，若|x-1|≤1，|y-2|≤1，求|x-y+1|的最大值．
选修4-4；坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线L的参数方程为
x=3-
2
2
t
y=
2
2
t
（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2
5
sinθ．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C与直线L交于点A，B，若点P的坐标为（3，
5
），求|PA|+|PB|．
（2012•许昌三模）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为
x=a+4t
y=-1-2t
（t为参数）在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，极轴与x轴的非负半轴重合）中，圆C的方程为ρ=2
2
cos（θ+
π
4
）．
（Ⅰ）求圆心C到直线l的距离；
（Ⅱ）若直线l被圆C截得的弦长为
6
5
5
，求a的值．
（2013•广东模拟）（选修4-4：坐标系与参数方程选讲）
在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C参数方程为
x=
3
cosθ
y= sinθ
（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρcos(θ-
π
4
)=2
2
．则曲线C上的点到直线l的最大距离是
3
2
3
2
．

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