题目内容
【题目】是等边三角形,边长为4,
边的中点为
,椭圆
以
,
为左、右两焦点,且经过
、
两点。
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)过点且
轴不垂直的直线
交椭圆于
,
两点,求证:直线
与
的交点在一条定直线上.
【答案】(1)椭圆的方程为(2)证明见解析
【解析】试题分析:(1)由题意得 ,可得b,即得椭圆的标准方程;(2)由对称性知需证直线
与
的交点横坐标为定值,设
,
,利用点斜式写出直线
与
方程,解方程组得交点横坐标满足
,再设
的方程为
,代入化简得
,联立直线MN方程与椭圆方程,利用韦达定理代入化简即得
.
试题解析:解:(1)由题意可知两焦点为与
,且
,因此椭圆的方程为
.
(2)①当不与
轴重合时,
设的方程为
,且
,
联立椭圆与直线消去
可得
,即
,
设,
则:
①
:
②
②-①得
则,即
.
②当与
轴重合时,即
的方程
为,即
,
.
即:
①
:
②
联立①和②消去可得
.
综上与
的交点在直线
上.
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