题目内容

13.把长度AB和宽AD分别为2$\sqrt{3}$和2的长方形ABCD沿对角线AC折成60°的二面角,则|$\overrightarrow{BD}$|等于$\sqrt{7}$.

分析 过D作DE⊥AC于E,过B作BF⊥AC于F,作EG∥FB,EG=FB,求出DG,即可求出DB.

解答 解:过D作DE⊥AC于E,过B作BF⊥AC于F,作EG∥FB,EG=FB,
∴EG⊥AC,
∴∠DEG是二面角D-AC-B的平面角,
∵二面角D-AC-B为60°
∴∠DEG=60°
又AB=2$\sqrt{3}$,AD=2,
∴DE=BF=EG=$\sqrt{3}$,AE=FC=1,AC=4,EF=GB=2,EFBG是矩形
∴DG2=DE2+EG2-2DE•EGcos60°=3,
∴DB2=DG2+GB2=3+4=7,
∴DB=$\sqrt{7}$.
故答案为:$\sqrt{7}$.

点评 本题考查二面角的平面角,考查余弦定理的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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