题目内容
【题目】如图所示，已知
是正三角形，若
平面
，平面
平面，且
．
（1）求证：
平面
；
（2）若
平面，求二面角
的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
．
【解析】
（1）过点
作
于点
，由面面垂直性质知
平面
，可知
，由线面平行判定可得到结论；
（2）根据垂直关系可以
为坐标原点建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求法可求得结果.
（1）过点作于点，
平面
平面，平面
平面
，
平面
，
平面，
平面，
，又
平面，
平面；
（2）
，
，
，
，
，
平面，
，
，
，
是
的中点，
，连结
，则
，
平面，
，
，
四边形
是矩形，
．
以为原点，
、
、
所在的直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系
，
设
，则
，
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，取
，则
，
，
，
取平面
的一个法向量为
，
，
二面角
为钝二面角，二面角的余弦值为.
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