Question

【题目】已知函数．

（1）当时，利用函数单调性的定义判断并证明的单调性，并求其值域；

（2）若对任意,求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) a>－3.

【解析】试题分析：（I）利用函数单调性的定义，设1≤，利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小，进而证明函数f（x）为单调减函数，再利用单调性求函数最值即可；
（II）根据题意：“对任意x∈[1，+∞)， ,恒成立，只需对任意恒成立，再设，利用二次函数的性质求出最小值，即可得到实数a的取值范围．

试题解析：

(1) 任取 则

,

当

∵∴，恒成立 ∴ ∴上是增函数，

∴当x=1时，f(x)取得最小值为,∴f(x)的值域为

(2) ,

∵对任意,恒成立

∴只需对任意恒成立。设

∵g(x)的对称轴为x=－1, ∴只需g(1)>0便可， g(1)=3+a>0,

∴a>－3。