题目内容
【题目】如图,四棱锥中,底面
是矩形,面
底面
,且
是边长为
的等边三角形,
在
上,且
面
.
(1)求证: 是
的中点;
(2)在上是否存在点
,使二面角
为直角?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1) 见解析;(2) .
【解析】试题分析:(1)连交
于
可得
是
中点,再根据
面
可得
进而根据中位线定理可得结果;(2)取
中点
,由(1)知
两两垂直. 以
为原点,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系,求出面
的一个法向量
,用
表示面
的一个法向量
,由
可得结果.
试题解析:(1)证明:连交
于
,连
是矩形,
是
中点.又
面
,且
是面
与面
的交线,
是
的中点.
(2)取中点
,由(1)知
两两垂直. 以
为原点,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系(如图),则各点坐标为
.
设存在满足要求,且
,则由
得:
,面
的一个法向量为
,面
的一个法向量为
,由
,得
,解得
,故存在
,使二面角
为直角,此时
.
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