Question

6．已知正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若-3，S₅，S₁₀成等差数列，则S₁₅-S₁₀的最小值为（　　）

• A． 8
• B． 9
• C． 10
• D． 12

Answer 1

分析 由题意可得S₁₀-2S₅=3，结合等比数列的性质得到$（{S}_{10}-{S}_{5}）^{2}={S}_{5}（{S}_{15}-{S}_{10}）$，把S₁₅-S₁₀转化为含有S₅的代数式，然后利用基本不等式求得答案．

解答 解：由题意得2S₅=-3+S₁₀，∴S₁₀-2S₅=3．
由数列{a_n}为等比数列可知，S₅，S₁₀-S₅，S₁₅-S₁₀成等比数列，
∴$（{S}_{10}-{S}_{5}）^{2}={S}_{5}（{S}_{15}-{S}_{10}）$，
S₁₅-S₁₀=$\frac{（{S}_{10}-{S}_{5}）^{2}}{{S}_{5}}=\frac{（2{S}_{5}+3-{S}_{5}）^{2}}{{S}_{5}}$=$\frac{9}{{S}_{5}}+{S}_{5}+6≥12$．
当且仅当S₅=3时上式“=”成立．
故选：D．

点评 本题是等差数列和等比数列的综合题，考查了等比数列的性质，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．