题目内容
3.已知函数f(x)=3ax-4bx且a=log32,又函数y=logc(x+1)+1(c>0且c≠1)图象恒过定点的纵坐标为b.(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数y=f(x)在[-1,1]内的值域.
分析 (1)根据x=0,则y=logc(x+1)+1=1恒成立,可得b值,结合对数的运算性质,可得f(x)的解析式;
(2)令t=2x,则4x=t2,当x∈[-1,1]时,t∈[$\frac{1}{2}$,2],y=f(x)=t-t2,结合二次函数的图象和性质,可得函数y=f(x)在[-1,1]内的值域.
解答 解:(1)令x=0,则y=logc(x+1)+1=1恒成立,
故函数y=logc(x+1)+1(c>0且c≠1)图象恒过定点(0,1),
即b=1,
又∵a=log32,
∴函数f(x)=3ax-4bx=${3}^{{log}_{3}2•x}-{4}^{x}$=2x-4x;
(2)令t=2x,则4x=t2,
当x∈[-1,1]时,t∈[$\frac{1}{2}$,2],y=f(x)=t-t2,
∵y=t-t2的图象是开口朝下,且以t=$\frac{1}{2}$为对称轴的抛物线,
故当t=$\frac{1}{2}$时,函数取最大值$\frac{1}{4}$,当t=2时,函数取最小值-2,
故函数y=f(x)在[-1,1]内的值域为[-2,$\frac{1}{4}$].
点评 本题考查的知识点是二次函数的性质,指数函数的图象和性质,对数函数的图象和性质,是函数图象和性质的综合应用,难度中档.
练习册系列答案
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