Question

4．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，}&{x≥0}\\{-x，}&{x＜0}\end{array}\right.$．
（1）f（x）有零点吗？
（2）设g（x）=f（x）+k，为了使方程g（x）=0有且只有一个根，k应该怎样限制？
（3）当k=-1时，g（x）有零点吗？若果有，把它求出来，如果没有，请说明理由；
（4）你给k规定一个范围，使得方程g（x）=0总有两个根．

Answer 1

分析 画出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，}&{x≥0}\\{-x，}&{x＜0}\end{array}\right.$的图象；
（1）根据函数f（x）的图象与x轴无交点，得到f（x）无零点；
（2）若g（x）=0有且只有一个根，则-k∈（0，1），进而得到k的范围；
（3）当k=-1时，g（x）的图象与x轴有两个交点，（-1，0）和（0，0），进而得到零点；
（4）若方程g（x）=0总有两个根，则-k∈[1，+∞），进而得到k的范围；

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，}&{x≥0}\\{-x，}&{x＜0}\end{array}\right.$的图象如下图所示：

（1）由图可得：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，}&{x≥0}\\{-x，}&{x＜0}\end{array}\right.$的图象与x轴无交点，
故f（x）无零点；
（2）∵g（x）=f（x）+k，若g（x）=0，则f（x）=-k，
若方程g（x）=0有其只有一个根，
则-k∈（0，1），
即k∈（-1，0），
（3）当k=-1时，g（x）=f（x）-1，其图象与x轴有两个交点，（-1，0）和（0，0），
故g（x）有两个零点，分别为-1和0；
（4）若方程g（x）=0总有两个根，
则-k∈[1，+∞），
即k∈（-∞，-1]．

点评 本题考查的知识点是函数的零点，数形结合是解答此类问题常用的办法．