Question

【题目】已知数列{an}中，a1=3，an+1+an=32n ， n∈N* ．
（1）证明数列{an﹣2n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）在数列{an}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；
（3）若1＜r＜s且r，s∈N* ， 求证：使得a1 ， ar ， as成等差数列的点列（r，s）在某一直线上．

Answer 1

【答案】
（1）证明：将已知条件 变形为

由于a1﹣2=3﹣2=1≠0，则 （常数）

即数列 是以1为首项，公比为﹣1的等比数列

所以 =（﹣1）n﹣1，即 +（﹣1）n﹣1（n∈N*）

（2）解：假设在数列{an}中存在连续三项成等差数列，不妨设连续的三项依次为ak﹣1，ak，ak+1（k≥2，k∈N*），由题意得，2ak=ak﹣1+ak+1，

将 ， ， 代入上式得

2[2k+（﹣1）k﹣1]=[2k﹣1+（﹣1）k﹣2]+[2k+1+（﹣1）k]

化简得，﹣2k﹣1=4（﹣1）k﹣2，即2k﹣1=4（﹣1）k﹣1，得（﹣2）k﹣1=4，解得k=3，

所以，存在满足条件的连续三项为a2，a3，a4成等差数列

（3）证明：若a1，ar，as成等差数列，则2ar=a1+as，

即2[2r+（﹣1）r﹣1]=3+2s+（﹣1）s﹣1，变形得2s﹣2r+1=2（﹣1）r﹣1﹣（﹣1）s﹣1﹣3

由于若r，s∈N*且1＜r＜s，下面对r、s进行讨论：

①若r，s均为偶数，则2s﹣2r+1＜0，解得s＜r+1，与1＜r＜s矛盾，舍去；

②若r为奇数，s为偶数，则2s﹣2r+1=0，解得s=r+1；

③若r为偶数，s为奇数，则2s﹣2r+1＜0，解得s＜r+1，与1＜r＜s矛盾，舍去；

④若r，s均为奇数，则2s﹣2r+1＜0，解得s＜r+1，与1＜r＜s矛盾，舍去；

综上①②③④可知，只有当r为奇数，s为偶数时，a1，ar，as成等差数列，

此时满足条件点列（r，s）落在直线y=x+1（其中 为正奇数）上

【解析】（1）将条件变形，构造符合条件的数列，即可证明数列{an﹣2n}是等比数列，从而可求数列{an}的通项公式；（2）假设在数列{an}中存在连续三项成等差数列，代入相应的项，化简可得结论；（3）若a1 ， ar ， as成等差数列，则2ar=a1+as ， 代入变形整理，对r、s进行讨论，可得结论．
【考点精析】掌握数列的通项公式是解答本题的根本，需要知道如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．