Question

【题目】已知f（x）=2x2+bx+c．
（1）对任意x∈[﹣1，1]，f（x）的最大值与最小值之差不大于6，求b的取值范围；
（2）若f（x）=0有两个不同实根，f（f（x））无零点，求证： ﹣ ＞1．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=2x2+bx+c= +c﹣ ，x∈[﹣1，1]．

①当﹣ ≤﹣1，即b≥4时，函数f（x）在x∈[﹣1，1]单调递增，∴f（1）﹣f（﹣1）≤6，化为：b≤3，舍去；

②当﹣ ≥1，即b≤﹣4时，函数f（x）在x∈[﹣1，1]单调递减，∴f（﹣1）﹣f（1）≤6，化为：b≥﹣3，舍去；

③当﹣1＜﹣ ＜1，即﹣4＜b＜4时，函数f（x）在 内单调递减，在 内单调递增，∴f（x）min=c﹣ ．

∵f（1）﹣f（﹣1）=2b，当0≤b＜4时，f（x）max=f（1）=2+b+c，则2+b+c﹣ ≤6，解得0≤b≤ ．

当﹣4＜b＜0时，f（x）max=f（﹣1）=2﹣b+c，则2﹣b+c﹣ ≤6，解得 ≤b＜0．

综上可得：b的取值范围是

（2）证明：f（x）=2x2+bx+c=0有两个不同实根，∴△=b2﹣8c＞0．

可得此方程的两个实数根：x1= ，x2= ．

要使f（f（x））无零点，则方程f（x）=x1，f（x）=x2，均无解．

∵x1＞x2，∴f（x）=2x2+bx+c的最小值c﹣ ＞x1= ，即b2﹣8c+2 +1＜2b+1，

∴ ＜2b+1，∴ +1＜ ．

∴ ﹣ ＞1

【解析】（1）f（x）=2x2+bx+c= +c﹣ ，x∈[﹣1，1]．对b分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．（2）f（x）=2x2+bx+c=0有两个不同实根，可得△＞0．可得此方程的两个实数根：x1= ，x2= ．要使f（f（x））无零点，则方程f（x）=x1 ， f（x）=x2 ， 均无解．由于x1＞x2 ， 可得f（x）=2x2+bx+c的最小值c﹣ ＞x1 ， 化简整理即可证明．