Question

（2013•牡丹江一模）《选修4-5：不等式选讲》
设不等式|x-2|＞1的解集与关于x的不等式x²-ax+b＞0的解集相同．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f(x)=a

x-3

+b

5-x

的最大值，以及取得最大值时x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，通过解绝对值不等式|x-2|＞1可求其解集，从而可知x²-ax+b=0的解，由韦达定理可求得a，b的值；
（Ⅱ）通过导数法可求得f（x）=4

x-3

+3

5-x

的最大值，以及取得最大值时x的值．

解答：解：（Ⅰ）∵|x-2|＞1，
∴x＞3或x＜1．
∴不等式|x-2|＞1的解集为{x|x＞3或x＜1}；
∵不等式|x-2|＞1的解集与关于x的不等式x²-ax+b＞0的解集相同，
∴1和3是方程x²-ax+b=0的根，
∴a=1+3=4，b=1×3=3．
（Ⅱ）∵f（x）=4

x-3

+3

5-x

（3≤x≤5），
∴f′（x）=

4× 1 2

x-3

-

3 2

5-x

=

2 5-x - 3 2 x-3

x-3 • 5-x

，
由f′（x）=0得x=

107

25

．
由f′（x）＞0得，3≤x＜

107

25

，
由f′（x）＜0得，

107

25

＜x≤5．
∴f（x）在[3，

107

25

）上单调递增，在（

107

25

，5]上单调递减，
∴当x=

107

25

时，f（x）取得最大值，
即f（x）_max=f（

107

25

）=4

107 25 -3

+3

5- 107 25

=5

2

．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，利用导数法求函数的最值是难点，也是关键，考查分析、运算的能力，属于难题．