Question

11．函数y=$\sqrt{1-x}+\sqrt{x+3}$的值域是[2，2$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 可对原函数两边平方便可得到${y}^{2}=2\sqrt{-{x}^{2}-2x+3}+4$，通过配方可得到0≤-x²-2x+3≤4，从而可以得出$\sqrt{-{x}^{2}-2x+3}$的范围，进一步可得到y²的范围，从而得出原函数的值域．

解答 解：${y}^{2}=（\sqrt{1-x}+\sqrt{x+3}）^{2}=2\sqrt{-{x}^{2}-2x+3}+4$；
0≤-x²-2x+3=-（x+1）²+4≤4；
∴$0≤\sqrt{-{x}^{2}-2x+3}≤2$；
∴4≤y²≤8；
2$≤y≤2\sqrt{2}$；
∴原函数的值域为：[2，$2\sqrt{2}$]．
故答案为：[2，$2\sqrt{2}$]．

点评 考查函数值域的概念，含无理式的函数的处理方法：对函数两边平方去根号，配方法求二次函数的范围，注意求的是y的范围，对求出的y²的范围后再开方．