Question

19．某人要从一幢楼房的第1层走到第29层，他走每一层的时间需比走前一层所需时间多10秒，问：
（1）若从第1层走到第2层需要2分钟，则他走到29层时需要多长时间？
（2）若他从第9层到第14层花了10分钟，则从第1层走到第2层花了多长时间？

Answer 1

分析 记此人从第n层走到第n+1层用时为a_n，前n项和为S_n，可得数列{a_n}为公差为$\frac{1}{6}$的等差数列，
（1）由题意可得a₁=2，公差d=$\frac{1}{6}$，代入求和公式求S₂₈即可；
（2）由题意可得S₁₃-S₈=10，由求和公式求出a₁可得．

解答 解：记此人从第n层走到第n+1层用时为a_n，前n项和为S_n，
可得数列{a_n}为公差为$\frac{10}{60}$=$\frac{1}{6}$的等差数列，
（1）由题意可得a₁=2，公差d=$\frac{1}{6}$，
∴S₂₈=28×2+$\frac{28×27}{2}$×$\frac{1}{6}$=119，
∴他走到29层时需要119分钟；
（2）由题意可得S₁₃-S₈=10，
∴（13a₁+$\frac{13×12}{2}$×$\frac{1}{6}$）-（8a₁+$\frac{8×7}{2}$×$\frac{1}{6}$）=10，
解得a₁=$\frac{1}{3}$，即20秒
∴他从第1层走到第2层需20秒．

点评 本题考查等差数列的求和公式，构造等差数列是解决问题的关键，属中档题．