题目内容

4.在四边形ABCD(A,B,C,D按逆时针排列)中,$\overrightarrow{AB}$=(6,1),$\overrightarrow{CD}$=(-2,-3),若有$\overrightarrow{BC}∥\overrightarrow{DA}$,又有$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BD}$,求$\overrightarrow{BC}$的坐标.

分析 根据题意,设$\overrightarrow{BC}$=(x,y),由此表示出$\overrightarrow{DA}$、$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{BD}$的坐标,结合题意可得x=-2y,①以及(6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0,②,联立①、②,解可得答案.

解答 解:设$\overrightarrow{BC}$=(x,y),
则$\overrightarrow{DA}$=-$\overrightarrow{AD}$=-($\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$)=(-x-4,2-y),$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$=(6+x,1+y),$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$=(x-2,y-3);
若$\overrightarrow{BC}∥\overrightarrow{DA}$,则有x(2-y)=y(-x-4),即x=-2y,①,
若$\overrightarrow{AC}⊥\overrightarrow{BD}$,则有(6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0,②,
联立①、②,解可得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=3}\end{array}\right.$,
则$\overrightarrow{BC}$=(2,-2)或(-6,3).

点评 本题考查向量以及向量数量积的坐标运算,解题时要先将求出向量的坐标,进而利用向量平行、垂直的性质得到关于x、y的关系式.

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