Question

9．如图，抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，过抛物线E上的动点p作PD⊥l于点D．当∠DPF=$\frac{2π}{3}$时，|PF|=4．
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）过点P作直线m⊥DF，求直线m与抛物线E的交点个数；
（Ⅲ）点C是△DPF的外心，是否存在点P，使得△CDP的面积最小．若存在，请求出面积的最小值及P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）过点P作PQ⊥x轴于点Q，运用抛物线的定义，结合解直角三角形，可得p=6，即可得到抛物线方程；
（Ⅱ）当点P为原点O时，直线m的方程：x=0与抛物线E切于点O；设P（x₀，y₀），求出直线m的方程，代入抛物线方程，即可得证；
（Ⅲ）求出圆心C的坐标，求得|BC|，|DP|，可得S_△CDP=$\frac{1}{2}$|BC|•|DP|，运用导数判断单调性，求得极值也为最值，即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）过点P作PQ⊥x轴于点Q，当∠DPF=$\frac{2π}{3}$时，|PF|=4，
∴|PF|=|PD|=4，
则∠FPQ=$\frac{π}{6}$，
RT△PQF中，|QF|=|PF|sin$\frac{π}{6}$=2，
又|DP|=|PF|，即有|AF|=|DP|+|QF|=6，即 p=6，
则抛物线E的方程：y²=12x，
（Ⅱ）当点P为原点O时，直线m的方程：x=0与抛物线E切于点O；
设P（x₀，y₀），则D（-3，y₀），F（3，0），k_DF=-$\frac{{y}_{0}}{6}$，即有直线m的斜率为k=$\frac{6}{{y}_{0}}$，
直线m：y-y₀=$\frac{6}{{y}_{0}}$（x-x₀），化简得：6x=y₀y-y₀²+6x₀，
代入y²=12x得y²=2（y₀y-y₀²+6x₀），
即有y²-2y₀y+y₀²=0，则y=y₀（△=0），
则直线m与抛物线E有且只有一个交点P．
（Ⅲ）由已知得DP的中垂线：x=$\frac{{x}_{0}-3}{2}$，与直线m：6x=y₀y-y₀²+6x₀联立，
得到圆心C的纵坐标y_C=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-3{{x}_{0}}^{2}-9}{{y}_{0}}$，
即有|BC|=|y₀-y_C|=|y₀-$\frac{{{y}_{0}}^{2}-3{{x}_{0}}^{2}-9}{{y}_{0}}$|=|$\frac{{{y}_{0}}^{2}+36}{4{y}_{0}}$|，
又|DP|=x₀+3，则S_△CDP=$\frac{1}{2}$|BC|•|DP|=|$\frac{（{{y}_{0}}^{2}+36）^{2}}{96{y}_{0}}$|=$\frac{1}{96}$|y₀³+72y₀+$\frac{1296}{{y}_{0}}$|

不妨设f（y₀）=y₀³+72y₀+$\frac{1296}{{y}_{0}}$（y₀＞0），
由f′（y₀）=3y₀²+72-$\frac{1296}{{{y}_{0}}^{2}}$=$\frac{3（{y}_{0}-2\sqrt{3}）（{{y}_{0}}^{2}+2\sqrt{3}）（{{y}_{0}}^{2}+36）}{{{y}_{0}}^{2}}$
由f′（y₀）＜0，得0＜y₀＜2$\sqrt{3}$，由f′（y₀）＞0，得y₀＞2$\sqrt{3}$，
则当y₀=2$\sqrt{3}$时，函数f（y₀）有最小值；
故当点P的坐标为（1，2$\sqrt{3}$）或（1，-2$\sqrt{3}$）时，
S_△CDP取得最小值4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查抛物线定义，直线方程，直线方程与抛物线、圆的位置关系等知识，考查学生运算求解能力、推理论能力、抽象概括能力，考查数形结合的能力．