题目内容
【题目】已知函数,
,且函数
是偶函数.
(1)求的解析式;.
(2)若不等式在
上恒成立,求n的取值范围;
(3)若函数恰好有三个零点,求k的值及该函数的零点.
【答案】(1);(2)
;(3)
,该函数的零点为0,
,2.
【解析】
(1)根据是偶函数求得表达式算出
的值,进而求得
的解析式即可.
(2)换元令,再求解
的最小值,化简利用二次不等式进行范围运算即可.
(3)换元令,结合复合函数的零点问题,分析即可.
(1)∵,
∴.
∵是偶函数,∴
,∴
.
∴,
∴.
(2)令,∵
,
∴,不等式
在
上恒成立,等价于
在
上恒成立,
∴
令,
,则
,
,∴
.
(3)令,则
,方程
可化为
,即
,也即
.
又∵方程有三个实数根,
∴有一个根为2,∴
.
∴,解得
或
.
由,得
,
由,得
,∴该函数的零点为0,-2,2.
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