Question

已知函数f(x)＝(x²＋ax－2a²＋3a)e^x(x∈R)，其中a∈R.
(1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；
(2)当a≠时，求函数y＝f(x)的单调区间与极值．

Answer 1

（1）3e.   （2）见解析

解：(1)当a＝0时，f(x)＝x²e^x，f′(x)＝(x²＋2x)e^x，
故f′(1)＝3e.
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e.
(2)f′(x)＝[x²＋(a＋2)x－2a²＋4a]e^x.
令f′(x)＝0，解得x＝－2a，或x＝a－2，
由a≠知，－2a≠a－2.
以下分两种情况讨论：
①若a>，则－2a<a－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x	(－∞，－2a)	－2a	(－2a，a－2)	a－2	(a－2，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)		极大值		极小值

 
所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函数，在(－2a，a－2)上是减函数．
函数f(x)在x＝－2a处取得极大值为f(－2a)，且f(－2a)＝3ae^－2a.
函数f(x)在x＝a－2处取得极小值为f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)e^a－2.
②若a<，则－2a>a－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x	(－∞，a－2)	a－2	(a－2，－2a)	－2a	(－2a，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)		极大值		极小值

 
所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函数，在(a－2，－2a)上是减函数．
函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，
且f(a－2)＝(4－3a)e^a－2.
函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，
且f(－2a)＝3ae^－2a.