Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过点A(1，3) ，B(4，2)，且圆心在直线l：x－y－1＝0上．

（1）求圆C的方程；

（2）设P是圆D：x2＋y2＋8x－2y＋16＝0上任意一点，过点P作圆C的两条切线PM，PN，M，N为切点，试求四边形PMCN面积S的最小值及对应的点P坐标．

Answer 1

【答案】(1) x2＋y2－4x－2y＝0 (2) S最小10，P(－3，1)

【解析】试题分析：（1）设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，根据条件得，即可得解；

（2）依题意，S＝2S△PMC＝PM×MC ＝，当PC最小时，S最小，求PC最小即可.

试题解析：

（1）设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其圆心为(－，－)．

因为圆C经过点A(1，3) ，B(4，2)，且圆心在直线l：x－y－1＝0上，

所以

解得

所求圆C的方程为x2＋y2－4x－2y＝0．

（2）由（1）知，圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．

依题意，S＝2S△PMC＝PM×MC ＝×．

所以当PC最小时，S最小．

因为圆M：x2＋y2＋8x－2y＋16＝0，所以M(－4，1)，半径为1．

因为C(2，1)，所以两个圆的圆心距MC＝6．

因为点P∈M，且圆M的半径为1，

所以PCmin＝6－1＝5．

所以Smin＝×＝10．

此时直线MC：y＝1，从而P(－3，1)．