题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)设函数有两个极值点(),若恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)分类讨论,详见解析;(2).
【解析】
(1)求出导函数,令,利用判别式讨论的取值范围,结合导数与函数单调性的关系即可求解.
(2)根据题意可得是方程的两个不等正实根,由(1)知,利用韦达定理得,且,然后分离参数只需恒成立,,从而令,利用导数求出的最小值即可求解.
(1)因为,
所以.
令,,
当即时,,即,
所以函数单调递增区间为.
当即或时,.
若,则,所以,即,
所以函数单调递增区间为.
若,则,由,即得或;
由,即得.
所以函数的单调递增区间为;单调递减区间为.
综上,当时,函数单调递增区间为;
当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)由(1)得,
若有两个极值点,则是方程的两个不等正实根,
由(1)知.则,故,
要使恒成立,只需恒成立.
因为
令,则,
当时,,为减函数,所以.
由题意,要使恒成立,只需满足.
所以实数的取值范围.
【题目】某央企在一个社区随机采访男性和女性用户各50名,统计他(她)们一天()使用手机的时间,其中每天使用手机超过6小时(含6小时)的用户称为“手机迷”,否则称其为“非手机迷”,调查结果如下:
男性用户的频数分布表
男性用户日用时间分组() | |||||
频数 | 20 | 12 | 8 | 6 | 4 |
女性用户的频数分布表
女性用户日用时间分组() | |||||
频数 | 25 | 10 | 6 | 8 | 1 |
(1)分别估计男性用户,女性用户“手机迷”的频率;
(2)求男性用户每天使用手机所花时间的中位数;
(3)求女性用户每天使用手机所花时间的平均数与标准差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
【题目】广元市某校高三数学备课组为了更好地制定二轮复习的计划,开展了试卷讲评后效果的调研,从上学期市一诊考试数学试题中选出一些学生易错题,重新进行测试,并认为做这些题不出任何错误的同学为“过关”,出了错误的同学为“不过关”,现随机抽查了年级人,他们的测试成绩的频数分布如下表:
市一诊分数段 | |||||
人数 | 5 | 10 | 15 | 13 | 7 |
“过关”人数 | 1 | 3 | 8 | 8 | 6 |
(1)由以上统计数据完成如下列联表,并判断是否有的把握认为市一诊数学成绩不低于分与测试“过关”有关?说明你的理由;
分数低于分人数 | 分数不低于分人数 | 合计 | |
“过关”人数 | |||
“不过关”人数 | |||
合计 |
(2)根据以上数据估计该校市一诊考试数学成绩的中位数.下面的临界值表供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |