Question

【题目】已知双曲线 （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2 ， 过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A、B两点，AF2、BF2分别交y轴于P、Q两点，若△PQF2的周长为12，则ab取得最大值时该双曲线的离心率为（ ）
A.
B.
C.2
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：由题意，△ABF2的周长为24， ∵|AF2|+|BF2|+|AB|=24，
∵|AF2|+|BF2|﹣|AB|=4a，|AB|= ，
∴ =24﹣4a，∴b2=a（6﹣a），
∴y=a2b2=a3（6﹣a），∴y′=2a2（9﹣2a），
0＜a＜4.5，y′＞0，a＞4.5，y′＞0，
∴a=4.5时，y=a2b2取得最大值，此时ab取得最大值，b= ，
∴c=3 ，
∴e= = ，
故选：D．
由题意，△ABF2的周长为24，利用双曲线的定义，可得 =24﹣4a，进而转化，利用导数的方法，即可得出结论．