Question

16．当x=θ时，函数f（x）=sinx-3cosx取得最大值，则cosθ的值为-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

Answer 1

分析 利用辅助角公式化简函数的解析式为函数f（x）═$\sqrt{10}$sin（x+α），其中，cosα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，sinα=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．由题意可得θ+α=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，即 θ=2kπ+$\frac{π}{2}$-α，k∈z，再利用诱导公式求得cosθ 的值．

解答 解：函数f（x）=sinx-3cosx=$\sqrt{10}$（$\frac{\sqrt{10}}{10}$sinx-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$cosx）=$\sqrt{10}$sin（x+α），其中，cosα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，sinα=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
故当x+α=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x=2kπ+$\frac{π}{2}$-α，k∈Z时，函数f（x）取得最大值为$\sqrt{10}$．
而由已知可得当x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴2kπ+$\frac{π}{2}$-α=θ，求得cosθ=sinα=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
故答案为：-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的最大值，属于中档题．