题目内容
【题目】在平面直角坐标系中有如下正确结论:
为曲线
(
、
为非零实数,且不同时为负)上一点,则过点
的切线方程为
.
(1)已知为椭圆
上一点,
为过点
的椭圆的切线,若直线
与直线
的斜率分别为
与
,求证:
为定值;
(2)过椭圆上一点
引椭圆
的切线,与
轴交于点
.若
为正三角形,求椭圆
的方程;
(3)求与圆及(2)中的椭圆
均相切的直线
与坐标轴围成的三角形的面积的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
【解析】
(1)根据已知题目中所给的结论结合斜率公式可以证明出为定值;
(2) 由题目中的结论求出椭圆切线方程,求出点的坐标,根据等边三角形三边相等列出方程组,即可求出
的值;
(3)设出直线的方程,根据与圆
相切和(2)中椭圆相切,得到两个等式,求出三角形的面积表达式,最后利用基本不等式可以求出三角形的面积的取值范围.
(1) 为椭圆
上一点,
为过点
的椭圆的切线,所以
的方程为:
,由题意可知:
,所以
为定值;
(2)设点的坐标为:
,由已知所给的结论可知:过椭圆
上一点
引椭圆
的切线的方程为:
,与题意可知:点
的坐标为:
.
.
因为为正三角形,所以三边相等,因此有方程组:
,因为点
在椭圆上,所以
椭圆
的方程为
;
(3)设直线的方程为:
,由题意可知:
.与两个坐标轴的交点坐标分别为:
,所以直线
与坐标轴围成的三角形的面积为:
.
因为直线与
相切,所以方程组:
有唯一解,
即方程有唯一实根,故
,
即.
因为直线与
相切,所以方程组:
有唯一解,
即方程有唯一实根,故
,
即,而
,所以
因为,所以
,因为
,所以这个不等式恒成立.
(当且仅当
时取等号,即
取等号),所以直线
与坐标轴围成的三角形的面积的取值范围为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为保护农民种粮收益,促进粮食生产,确保国家粮食安全,调动广大农民粮食生产的积极性,从2004年开始,国家实施了对种粮农民直接补贴.通过对2014~2018年的数据进行调查,发现某地区发放粮食补贴额(亿元)与该地区粮食产量
(万亿吨)之间存在着线性相关关系.统计数据如下表:
年份 | 2014年 | 2015年 | 2016年 | 2017年 | 2018年 |
补贴额 | 9 | 10 | 12 | 11 | 8 |
粮食产量 | 23 | 25 | 30 | 26 | 21 |
(1)请根据如表所给的数据,求出关于
的线性回归直线方程
;
(2)通过对该地区粮食产量的分析研究,计划2019年在该地区发放粮食补贴额7亿元,请根据(1)中所得的线性回归直线方程,预测2019年该地区的粮食产量.
(参考公式:,
)
【题目】上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级,各等级换算成分数如表所示:
等级 | A | B | C | D | E | ||||||
分数 | 70 | 67 | 64 | 61 | 58 | 55 | 52 | 49 | 46 | 43 | 40 |
上海某高中2018届高三班选考物理学业水平等级考的学生中,有5人取得
成绩,其他人的成绩至少是B级及以上,平均分是64分,这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为______人