题目内容
【题目】已知椭圆C:(
)的两焦点与短轴两端点围成面积为12的正方形.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)我们称圆心在椭圆上运动,半径为的圆是椭圆的“卫星圆”.过原点O作椭圆C的“卫星圆”的两条切线,分别交椭圆C于A、B两点,若直线
、
的斜率为
、
,当
时,求此时“卫星圆”的个数.
【答案】(1);(2)8个.
【解析】
(1)由条件可得,解出来即可;
(2) 设“卫星圆”的圆心为,由定义可得“卫星圆”的标准方程为
,求其圆心到直线
,直线
的距离,整理可转化为
、
是方程
的两个不相等的实数根,则
,再加上
,
,解方程即可.
(1)∵椭圆C的两焦点与短轴两端点围成面积为12的正方形,
∴由椭圆的定义和正方形的性质,可得,
解得.
又
∴椭圆C的标准方程为.
(2)设“卫星圆”的圆心为.
由“卫星圆”的定义,可得“卫星圆”的半径为.
∴“卫星圆”的标准方程为.
∵直线:
与“卫星圆”相切,
则由点到直线的距离公式可,
化简得.
同理可得.
∴、
是方程
的两个不相等的实数根,
∴,由
,得
,
将代入得
,
.
又∵“卫星圆”的圆心在椭圆C上,
∴代入椭圆方程中,可得
.
解得,
.
当时,
;
当时,
,
∴满足条件的点共8个,
∴这样“卫星圆”存在8个.
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