题目内容
【题目】已知函数(
是自然对数的底数).
(Ⅰ)讨论极值点的个数;
(Ⅱ)若是
的一个极值点,且
,证明:
.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析
【解析】
(I)求得函数的导函数
,对
分成
四种情况进行分类讨论,根据
的单调区间,判断出
极值点的个数.
(II)首先结合(I)以及判断出
,且
,由此求得
的表达式,利用这个表达的导数求得
最大值为
,由此证得
.
(Ⅰ)的定义域为
,
,
①若,则
,
所以当时,
;当
时,
,
所以在
上递减,在
递增.
所以为
唯一的极小值点,无极大值,
故此时有一个极值点.
②若,令
,
则,
,
当时,
,
则当时,
;当
时,
;
当时,
.
所以-2,分别为
的极大值点和极小值点,
故此时有2个极值点.
当时,
,
且不恒为0,
此时在
上单调递增,
无极值点
当时,
,
则当时,
;当
时,
;当
时,
.
所以,-2分别为
的极大值点和极小值点,
故此时有2个极值点.
综上,当时,
无极值点;
当时,
有1个极值点;
当或
时,
有2个极值点.
(Ⅱ)证明:若是
的一个极值点,
由(Ⅰ)可知,
又,所以
,
且,则
,
所以.
令,则
,
所以,
故
又因为,所以
,令
,得
.
当时,
,
单调递增,
当时,
,
单调递减,
所以是
唯一的极大值点,也是最大值点,
即,
故,即
.
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