题目内容
【题目】已知函数,
(
为自然对数的底数).
(Ⅰ)当时,求
的最小值;
(Ⅱ)若函数恰有两个不同极值点
.
①求的取值范围;
②求证: .
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) ,②见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)求出,令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间,根据单调性可得
的最小值;(Ⅱ)①
恰有两个极值点,等价于
在
上恰有两个不同零点,当
时,
在
恒成立,
在
上单调递减,不合要求;当
时,研究函数的单调性结合零点存在定理可得
的取值范围,②不妨设
,则有:
,可得
,令
,原不等式等价于
,
,验证函数
的最大值小于零即可得结论.
试题解析:(Ⅰ) ,
,
,
所以在
上单调递减,在
上单调递增,
,
即时,恒有
,
故在
上单调递增,
.
(Ⅱ),要
恰有两个极值点,
等价于在
上恰有两个不同零点.
,
当时,
在
恒成立,
在
上单调递减,不合要求;
当时,
在
上单调递减,在
上单调递增,
而,由
,
∴,
,
此时,
,
故当时,
在
与
上各恰有一个零点,
即当时函数
有两个极值点.
另法:考查
②不妨设,则有:
,两式相加与相减得:
,
,而
,
,令
,
,
,
,
考查函数,
,
恒成立于
,
在
上单调递增,则恒有
.
即,
成立,
故命题得证.
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