题目内容
【题目】已知函数
(m,n∈R)在x=1处取得极值2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)k为何值时，方程f(x)-k=0只有1个根
(3)设函数g(x)=x2-2ax+a，若对于任意x1∈R，总存在x2∈[-1,0]，使得g(x2)≤f(x1)，求a的取值范围
【答案】（1）
；（2）k=
或0；（3）
.
【解析】试题分析：（1）先由已知函数求其导数，再根据函数
在
处取得极值
，列出关于
的方程即可求得函数
的解析式；（2）利用导数研究函数
的单调性，数形结合可得方程f(x)-k=0只有1个根时的
值；（3）函数g(x)=x2-2ax+a，若对于任意x1∈R，总存在x2∈[-1,0]，使得g(x2)≤f(x1)，等价于当
时， 
，求出
，结合换元法，分离参数后，利用基本不等式求解.
试题解析：（1）因为
，所以
.
又f(x)在
处取得极值2，所以
，即
解得
，
经检验满足题意，所以
.
（2）
，令
，得
.
当
变化时， 
的变化情况如下表：
所以f(x)在
处取得极小值
，在
处取得极大值
，
又
时， 
，所以
的最小值为
，
如图
所以k=
或0时，方程有一个根.
(也可直接用方程来判断根的情况解决)
（3）由（2）得
的最小值为
，
因为对任意的
，总存在
，使得
，
所以当
时， 
有解，
即
在
上有解.
令
，则
，所以
.
所以当
时， 
；
的取值范围为
.
【方法点晴】本题主要考查不等式有解问题、方程根的个数问题以及函数极值问题，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为
有解（
即可）或转化为
有解（
即可）,本题（3）就用了这种方法.
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【题目】为了对2016年某校中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学分数（已折算为百分制）从小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95．
（1）若规定85分（包括85分）以上为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；
（2）若这8位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表：
学生编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
数学分数 | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 | 85 | 90 | 95 |
物理分数 | 72 | 77 | 80 | 84 | 88 | 90 | 93 | 95 |
化学分数 | 67 | 72 | 76 | 80 | 84 | 87 | 90 | 92 |
①用变量
与
与
的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；
②求与与的线性回归方程（系数精确到0.01），当某同学的数学成绩为50分时，估计其物理、化学两科的得分．
参考公式：相关系数
，
回归直线方程是：
，其中
，
参考数据：
，
，
，
．
