题目内容
【题目】设数列满足:①
;②所有项
;③
.
设集合,将集合
中的元素的最大值记为
.换句话说,
是
数列中满足不等式
的所有项的项数的最大值.我们称数列
为数列
的
伴随数列.例如,数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3.
(1)若数列的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3,请写出数列
;
(2)设,求数列
的伴随数列
的前100之和;
(3)若数列的前
项和
(其中
常数),试求数列
的伴随数列
前
项和
.
【答案】(1)1,4,7(2) 见解析(3)
【解析】试题分析:(1)根据伴随数列的定义求出数列;(2)根据伴随数列的定义得:
,由对数的运算对
分类讨论求出伴随数列
的前100项以及它们的和;(3)由题意和
与
的关系式求出
,代入
得
,并求出伴随数列
的各项,再对
分类讨论,分别求出伴随数列
的前
项和
.
试题解析:(1)1,4,7.
(2)由,得
∴ 当时,
当时,
当时,
当时,
当时,
∴
(3)∵ ∴
当时,
∴
由得:
∵使得成立的
的最大值为
,
∴
当时:
当时:
当时:
∴
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