题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,平面
平面
,
,
是等边三角形.已知
,
,
.
(1)设是
上的一点,证明:平面
平面
;
(2)当点位于线段
什么位置时,
平面
?
(3)求四棱锥的体积.
【答案】(1)见解析;(2)点位于线段
靠近
点的三等分点处时;(3)24.
【解析】
试题分析:(1)证明面面垂直,一般利用面面垂直判定定理,即从线面垂直出发给予证明,而线面垂直的证明,往往需要多次利用线面垂直判定与性质定理:本题先根据平几知识得到线线垂直,再结合面面垂直条件,转化为线面垂直(2)分析思路先根据线面平行性质定理,转化为线线平行,再根据线线平行转化为对应线段成比例,得到M点位置.最后证明逆推:即由从线线平行证线面平行(3)求三棱锥体积,关键在于确定高,即明确线面垂直,再根据体积公式计算,本题可根据面面垂直得线面垂直,即高线.
试题解析:(1)证明:在中,
∵,
,
,∴
.
∴.
又平面平面
,
平面平面
,
平面
,
∴平面
.
又平面
,∴平面
平面
.
(2)当点位于线段
靠近
点的三等分点处时,
平面
.
证明如下:连接,交
于点
,连接.
∵,∴四边形
是梯形.
∵,
∴,
又∵,∴
,∴
.
∵平面
,
平面
,∴
平面
.
(3)过点作
交
于
,
∵平面平面
,∴
平面
.
即为四棱锥
的高,
又是边长为4的等边三角形,∴
.
在中,斜边
上的高为
,此即为梯形
的高.
梯形的面积
.
四棱锥的体积
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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