题目内容
【题目】已知.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,证明:
对于任意的
成立.
【答案】(1)当时,函数
在
内单调递增,在
内单调递减;当
时,函数
在
内单调递增,在
内单调递减,在
内单调递增;当
时,函数
在
内单调递增;当
时,函数
在
内单调递增,在
内单调递减,在
内单调递增;(2)详见解析.
【解析】
试题分析:(1)首先求出函数的定义域,然后求出其导函数,并对a进行分类讨论:,
,
,
,
,结合导数大于0和小于0所对应的自变量的取值范围,进而得出所求的结论;(2)构造函数
,则
,然后分别求出
,
,利用导数研究函数的单调性与最值即可得出函数
的最小值,最后结合已知得出所求的结果即可.
试题解析:(1)解:的定义域为
,
当
,
时,
,
单调递增;
,
单调递减.当
时,
.①
时
,当
时,
单调递增,当
时,
单调递减;②
时
,当
时
单调递增;③
时,
,当
单调递增,当
时,
单调递减.
综上所述,当时,函数
在
内单调递增,在
内单调递减;
当时,函数
在
内单调递增,在
内单调递减,在
内单调递增;
当时,函数
在
内单调递增;
当时,函数
在
内单调递增,在
内单调递减,在
内单调递增.
(2)由(1)知,时,
,设
则
由可得
,当且仅当x=1时取等号
又,设
,则
在
单调递减,
使得
,
在
,上单调递增,在
上单调递减
当且仅当
时等号成立,
,即
对于任意的
成立.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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