题目内容
【题目】如图1,在边长为1的等边三角形中,
分别是
边上的点,
,
是
的中点,
与
交于点
,将
沿
折起,得到如图2所示的三棱锥
,其中
.
(1) 证明://平面
;
(2) 证明:平面
;
(3) 当时,求三棱锥
的体积
.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)。
【解析】
试题分析:(1)因为三角形ABC为等边三角形,所以AB=AC,又AD=AE,所以,则DE//BC,折叠后图1中,DG//BF,GE//CF,又因为
,
,根据面面平行的判断定理可知,平面DGE//平面BCF,DE
平面DGE,所以DE//平面BFC;(2)图1中,F为BC中点,所以BC⊥AF,BF=FC=
,又因为BC=
,所以BF2+FC2=BC2,则CF⊥BF,因为AF
BF=F,根据线面垂直判定定理,所以CF⊥平面ABF;(3)由图4可知,AF⊥DE,所以图1中,AG⊥DG,AG⊥GE,且DG
GE=G,所以AG⊥平面DGE,所以F到平面DGE的距离等于线段GF的长,又因为AD=
,所以
,则DE=
,
,所以GF=
AF,又因为AF=
,所以GF=
,因为DE//BC,所以G为DE中点,DG=GE=
DE=
,又因为DE//BF,GE//CF,所以DG⊥GE,所以三角形DGE的面积为
,三棱锥F-DGE的体积为
。
试题解析:(1),在折叠后的三棱锥
中
也成立, ,
平面
,
平面
,
平面
;
(2)在等边三角形中,
是
的中点,所以
①,
.
在三棱锥
中,
,
②
;
(3)由(1)可知,结合(2)可得
.
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