题目内容

7．已知函数f（x）=-$\frac{2}{x+1}$，x∈[0，2]，判断函数f（x）的单调性并求其值域．

分析 根据单调性的定义可知在[2，4]上任x1，x2．x1＜x2，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小，从而可证得单调性，从而可求出函数的值域．

解答 解：在[0，2]上任取x1，x2且x1＜x2，f（x1）-f（x2）=$-\frac{2}{{x}_{1}+1}$+$\frac{2}{{x}_{2}+1}$=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$，
0≤x1＜x2≤2，
∴x2-x1＞0，x1+1＞0，x2+1＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）是在[0，2]上的增函数，
当x=2时函数取最大值-$\frac{2}{3}$，当x=0时函数取最小f（0）=-2，
故函数的值域为[-2，-$\frac{2}{3}$]．

点评 本题主要考查了函数单调性的判断与证明，以及利用函数单调性求函数值域，属于基础题

练习册系列答案
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