题目内容
【题目】已知,
.
(1)若对任意的实数,恒有
,求实数
的取值范围;
(2)当时,求证:方程
恒有两解.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)转化为关于的二次不等式
,进而得
,令
,利用导数求解函数
的单调性与最值,即可求解实数
的取值范围;
(Ⅱ)方程化为
,令
,利用导数求得函数
的单调性与最值,得到
在
和
各有一个零点,即可得方程
恒有两解.
试题解析:
(Ⅰ)要使f(x)<g(x)恒成立,即使成立,
整理成关于a的二次不等式,
只要保证△<0,
,
整理为,
(i)
下面探究(i)式成立的条件,令,
,
,当
时,
,
单调递减;当
时,
,
单调递增,x=1时
有最小值
,
,
,
.
实数b 的取值范围是(-1,2).
(Ⅱ)方程化为
,
令,
,
在(0,+∞)上单调递增,
,
,
存在使
,即
,
,
在
上单调递减,在
上单调递增,
在
处取得最小值.
,
,
<0,
,
,
在
和
各有一个零点,故方程
恒有两解.
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