题目内容
【题目】在如图所示的几何体中,四边形是等腰梯形,
∥
,
平面
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】:(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
【解析】
试题分析:(1)要证明直线和平面垂直,只需证明直线和平面内的两条相交直线垂直.由已知得,故只需证明
,在
中,由余弦定理得
的关系,即
的关系确定,在
中,结合已知条件
可判定
是直角三角形,且
,从而可证明BD⊥平面AED;(2)求二面角
,可先找后求,过
作
,由已知FC⊥平面ABCD,得
面
,故
,
,故
为二面角F—BD—C的平面角,在
中计算
.
(1)在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB= 60°,,由余弦定理可知,
,即
,在
中,
,
,则
是直角三角形,且
,又
,且
,故BD⊥平面AED.
(2)过作
,交
于点
,因为FC⊥平面ABCD,
面
,所以
,所以
面
,因此
,
,故
为二面角F—BD—C的平面角.
在中,
,可得
因此. 即二面角F—BD—C的正切值为2.
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