题目内容
19.已知复数z=$\frac{a+4i}{1+ai}$,a>0,且z=$\overline{z}$,若1+ai是关于x的方程x2+bx+c=0的一根,则b,c分别为( )A. | 4,-8 | B. | 2,-5 | C. | -4,8 | D. | -2,5 |
分析 首先化简复数z,利用z=$\overline{z}$,求出a,然后利用一元二次方程的根与系数的关系求出b,c.
解答 解:复数z=$\frac{a+4i}{1+ai}$=$\frac{(a+4i)(1-ai)}{(1+ai)(1-ai)}$=$\frac{5a+(4-{a}^{2})i}{1+{a}^{2}}$=$\frac{5a}{1+{a}^{2}}+\frac{4-{a}^{2}}{1+{a}^{2}}i$,因为z=$\overline{z}$,
所以$\frac{4-{a}^{2}}{1+{a}^{2}}$=0,解得a=±2,又a>0,所以a=2,
又1+2i是关于x的方程x2+bx+c=0的一根,
所以另一个根为1-2i,
所以b=(-1+2i+1-2i)=-2,c=(1+2i)(1-2i)=5;
故选:D.
点评 本题考查了复数的运算、共轭复数以及一元二次方程根与系数的关系;比较基础.
练习册系列答案
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